ファーストチケットの確率論
2012年2月2日 考察 コメント (14)ファーストチケットの確率についていろいろと考えてみました。
長文＆見づらいですがご了承ください。
また、正確かどうかもあまり保証できないですｗ
まず、４積みしたファーストチケットを初手に少なくとも１枚引く確率を計算するとき、「初手７枚のうち１枚はたねポケモンだから、それ以外の６枚でファーストチケットを引く」という考え方は違うのでは？？と思います。
極端な例として、
・デッキＡ：たね１枚、ファーストチケット４枚、その他５５枚
・デッキＢ：たね５４枚、ファーストチケット４枚、その他２枚
デッキＡの場合、たねポケモンが１枚しか入っていないため、前提条件としてこの１枚は必ず初手に引かないといけません。なので、残り５９枚のデッキから６枚引いて、その中にファーストチケットが少なくとも１枚ある確率を計算します。
しかしデッキＢの場合、初手７枚のうち１枚は必ずたねポケモンを引けるので、「初手７枚のうち１枚はたねポケモン」という前提条件をつける必要がありません。なので、６０枚のデッキから７枚引いて、その中にファーストチケットが少なくとも１枚ある確率を計算します。
「少なくとも○○を１枚引く確率」は「１００％－○○を１枚も引けない確率」で求めます。
・デッキＡ：1-{(55*54*53*52*51*50)/(59*58*57*56*55*54)}≒0.357→35.7%
・デッキＢ：1-{(56*55*54*53*52*51*50)/(60*59*58*57*56*55*54)}≒0.399→39.9%
これにより、デッキのたねポケモンの枚数が増えると、相対的にファーストチケットを初手に引ける確率が上がると思われます。
ここから計算式を考えてみようと思います。
まずは、初手のパターンをあげてみます。
パターンＡ：たね有チケット有 ※たねを少なくとも１枚引き、かつチケットを少なくとも１枚引く確率
パターンＢ：たね有チケット無 ※たねを少なくとも１枚引くけど、チケットを１枚も引けない確率
パターンＣ：たね無チケット有 ※たねを１枚も引かず、チケットを少なくとも１枚引く確率
パターンＤ：たね無チケット無 ※たねとチケットの両方とも１枚も引けない確率
求めるのはこの中でＡになる確率です。
直接Ａを求めることはできないので、他から計算していきます。
また、ファーストチケットは４積み前提とします。
デッキに入っているたねポケモンの数をxとすると、(1≦x≦56)
Ａ＋Ｂ＝1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)] ※たねを少なくとも１枚引く確率
Ｂ＋Ｄ＝(56*55*54*53*52*51*50)/(60*59*58*57*56*55*54) ※チケットを１枚も引けない確率
Ｄ＝{(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)
「Ｂ＋Ｄ」－「Ｄ」より、
Ｂ＝[(56*55*54*53*52*51*50)-{(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)}]/(60*59*58*57*56*55*54)
「Ａ＋Ｂ」－「Ｂ」より、
Ａ＝1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}+(56*55*54*53*52*51*50)-(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)]/(60*59*58*57*56*55*54)
このままだとＣとＤになった場合の引きなおしのことを考えていないので、最終的に求める計算式は「Ａ/(Ａ＋Ｂ)」になります。
Ａ/(Ａ＋Ｂ)＝[1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}+(56*55*54*53*52*51*50)-(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)]/(60*59*58*57*56*55*54)]/[1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)]]
だんだん自分でもわけが分からなくなってきましたが、エクセルに以下のように入力してもらえれば、ファーストチケットの枚数の変動も含めた確率を計算できます。
A1：たねポケモンの枚数
A2：ファーストチケットの枚数
A3：=(1-(((60-A1)*(59-A1)*(58-A1)*(57-A1)*(56-A1)*(55-A1)*(54-A1)+(60-A2)*(59-A2)*(58-A2)*(57-A2)*(56-A2)*(55-A2)*(54-A2)-(60-A2-A1)*(59-A2-A1)*(58-A2-A1)*(57-A2-A1)*(56-A2-A1)*(55-A2-A1)*(54-A2-A1))/(60*59*58*57*56*55*54)))/(1-(((60-A1)*(59-A1)*(58-A1)*(57-A1)*(56-A1)*(55-A1)*(54-A1))/(60*59*58*57*56*55*54)))*100
■結論
デッキにたねポケモンを５４枚積めば、初手にファーストチケットを引ける確率が最大４％も上がり、しかも相手にマリガンでドローさせないため相手がファーストチケットを引く確率が下がるので、ファーストチケットを活かした構築と言えるでしょう。(嘘
所詮は確率なので、あまりあてにはなりませんねｗ
４積みした場合、３試合に１回ぐらい引ければいいのかな。
長文＆見づらいですがご了承ください。
また、正確かどうかもあまり保証できないですｗ
まず、４積みしたファーストチケットを初手に少なくとも１枚引く確率を計算するとき、「初手７枚のうち１枚はたねポケモンだから、それ以外の６枚でファーストチケットを引く」という考え方は違うのでは？？と思います。
極端な例として、
・デッキＡ：たね１枚、ファーストチケット４枚、その他５５枚
・デッキＢ：たね５４枚、ファーストチケット４枚、その他２枚
デッキＡの場合、たねポケモンが１枚しか入っていないため、前提条件としてこの１枚は必ず初手に引かないといけません。なので、残り５９枚のデッキから６枚引いて、その中にファーストチケットが少なくとも１枚ある確率を計算します。
しかしデッキＢの場合、初手７枚のうち１枚は必ずたねポケモンを引けるので、「初手７枚のうち１枚はたねポケモン」という前提条件をつける必要がありません。なので、６０枚のデッキから７枚引いて、その中にファーストチケットが少なくとも１枚ある確率を計算します。
「少なくとも○○を１枚引く確率」は「１００％－○○を１枚も引けない確率」で求めます。
・デッキＡ：1-{(55*54*53*52*51*50)/(59*58*57*56*55*54)}≒0.357→35.7%
・デッキＢ：1-{(56*55*54*53*52*51*50)/(60*59*58*57*56*55*54)}≒0.399→39.9%
これにより、デッキのたねポケモンの枚数が増えると、相対的にファーストチケットを初手に引ける確率が上がると思われます。
ここから計算式を考えてみようと思います。
まずは、初手のパターンをあげてみます。
パターンＡ：たね有チケット有 ※たねを少なくとも１枚引き、かつチケットを少なくとも１枚引く確率
パターンＢ：たね有チケット無 ※たねを少なくとも１枚引くけど、チケットを１枚も引けない確率
パターンＣ：たね無チケット有 ※たねを１枚も引かず、チケットを少なくとも１枚引く確率
パターンＤ：たね無チケット無 ※たねとチケットの両方とも１枚も引けない確率
求めるのはこの中でＡになる確率です。
直接Ａを求めることはできないので、他から計算していきます。
また、ファーストチケットは４積み前提とします。
デッキに入っているたねポケモンの数をxとすると、(1≦x≦56)
Ａ＋Ｂ＝1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)] ※たねを少なくとも１枚引く確率
Ｂ＋Ｄ＝(56*55*54*53*52*51*50)/(60*59*58*57*56*55*54) ※チケットを１枚も引けない確率
Ｄ＝{(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)
「Ｂ＋Ｄ」－「Ｄ」より、
Ｂ＝[(56*55*54*53*52*51*50)-{(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)}]/(60*59*58*57*56*55*54)
「Ａ＋Ｂ」－「Ｂ」より、
Ａ＝1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}+(56*55*54*53*52*51*50)-(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)]/(60*59*58*57*56*55*54)
このままだとＣとＤになった場合の引きなおしのことを考えていないので、最終的に求める計算式は「Ａ/(Ａ＋Ｂ)」になります。
Ａ/(Ａ＋Ｂ)＝[1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}+(56*55*54*53*52*51*50)-(56-x)(55-x)(54-x)(53-x)(52-x)(51-x)(50-x)]/(60*59*58*57*56*55*54)]/[1-[{(60-x)(59-x)(58-x)(57-x)(56-x)(55-x)(54-x)}/(60*59*58*57*56*55*54)]]
だんだん自分でもわけが分からなくなってきましたが、エクセルに以下のように入力してもらえれば、ファーストチケットの枚数の変動も含めた確率を計算できます。
A1：たねポケモンの枚数
A2：ファーストチケットの枚数
A3：=(1-(((60-A1)*(59-A1)*(58-A1)*(57-A1)*(56-A1)*(55-A1)*(54-A1)+(60-A2)*(59-A2)*(58-A2)*(57-A2)*(56-A2)*(55-A2)*(54-A2)-(60-A2-A1)*(59-A2-A1)*(58-A2-A1)*(57-A2-A1)*(56-A2-A1)*(55-A2-A1)*(54-A2-A1))/(60*59*58*57*56*55*54)))/(1-(((60-A1)*(59-A1)*(58-A1)*(57-A1)*(56-A1)*(55-A1)*(54-A1))/(60*59*58*57*56*55*54)))*100
■結論
所詮は確率なので、あまりあてにはなりませんねｗ
４積みした場合、３試合に１回ぐらい引ければいいのかな。
コメント
期待されても困るｗ
こちらこそ改めてよろしくお願いします！
4ticket 1basic | 0.3597382 ( 4287 / 11917 )
4ticket 10basic | 0.38262695 ( 28627 / 74817 )
4ticket 20basic | 0.39708686 ( 37921 / 95498 )
4ticket 30basic | 0.40436155 ( 40255 / 99552 )
4ticket 45basic | 0.4045981 ( 40459 / 99998 )
4ticket 50basic | 0.40395 ( 40395 / 100000 )
(括弧の中は たねとチケット引けたかず/たねが引けたかず ね！要するにＡ/(Ａ＋Ｂ)のぶぶん)
１０万回ｗ
すぐにこういうプログラムを作れるのは流石です。
ここまで試行回数を増やせば、わずかな確率による差も見えてきますねｗ
ブログ拝見させていただきました。
こういうプログラムを作れるのは凄いです！
AとBの対戦者がいて、
Aのファーストチケットの成功率は
Aのパターンa手札の確率に(1-Bのパターンa手札の確率)
をかけるということで良いでしょうか？
たぶんまたパターンに分けて考えたほうが良さそうです。(プレイヤー名はＸとＹ)
パターンａ：Ｘチケット有、Ｙチケット有 ※ジャンケンになるのでお互いに先攻率５０％
パターンｂ：Ｘチケット有、Ｙチケット無
パターンｃ：Ｘチケット無、Ｙチケット有
パターンｄ：Ｘチケット無、Ｙチケット無 ※ジャンケンになるのでお互いに先攻率５０％
Ｘが先攻を取れる確率は、
パターンｂ＋1/2(パターンａ＋パターンｄ)
です。
パターンｂ＝[ＸのＡ/(Ａ＋Ｂ)]＊[Ｙの1-{Ａ/(Ａ＋Ｂ)}]
パターンａ＝[ＸのＡ/(Ａ＋Ｂ)]＊[ＹのＡ/(Ａ＋Ｂ)]
パターンｄ＝[Ｘの1-{Ａ/(Ａ＋Ｂ)}]＊[Ｙの1-{Ａ/(Ａ＋Ｂ)}]
しかしこれだとマリガンの追加ドローでファーストチケットを引けた確率までは計算できていないです。(ちょっと複雑すぎるので、そこまではできませんでした…)
でも無視できるほどの誤差だと思います。
追加ドローについてついては考えたくないですね・・・。さらに場合分けしてすればいいんでしょうけどまあ4回目あたり以降は誤差のように私も思います。
リンクさせて頂きます。
宜しくお願いします
＼(^o^)／
リンクありがとうございます。
こちらもリンクさせていただきますね。